知识点总结与练习题
核心概念 (Core Concept)：形如 \(f(x) = a^x\) 的函数，其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)，称为以 \(a\) 为底的指数函数。
重要性质 (Important Properties)：指数函数是连续且单调的函数。
基本特征 (Basic Features)：
渐近线 (Asymptotes)：所有指数函数都以 \(x\) 轴为水平渐近线。
比较原则 (Comparison Principles)：
题目：在同一坐标系中画出 \(y = 3^x\)、\(y = 2^x\) 和 \(y = 1.5^x\) 的图像。
解题步骤说明：
题目：画出 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\) 的图像，并给出与 \(y\) 轴交点的坐标。
解题步骤说明：
a) 绘制 \(y = (1.7)^x\) 的精确图像，其中 \(-4 \leq x \leq 4\)。
b) 使用你的图像解方程 \((1.7)^x = 4\)。
答题区域：
a) 绘制 \(y = (0.6)^x\) 的精确图像，其中 \(-4 \leq x \leq 4\)。
b) 使用你的图像解方程 \((0.6)^x = 2\)。
答题区域：
画出 \(y = 1^x\) 的图像。
答题区域：
对于以下每个陈述，判断其真假，并证明你的答案或提供反例：
a) 对于所有正实数 \(a\)，\(y = a^x\) 的图像都经过点 \((0,1)\)。
b) 对于 \(a > 0\)，函数 \(f(x) = a^x\) 总是增函数。
c) 对于正实数 \(a\)，\(y = a^x\) 的图像永远不会与 \(x\) 轴相交。
答题区域：
函数 \(f(x)\) 定义为 \(f(x) = 3^x, x \in \mathbb{R}\)。在同一坐标系中，画出以下图像：
a) \(y = f(x)\)
b) \(y = 2f(x)\)
c) \(y = f(x) - 4\)
d) \(y = f\left(\frac{1}{2}x\right)\)
写出每个图像与 \(y\) 轴交点的坐标，并给出任何渐近线的方程。
答题区域：
\(y = ka^x\) 的图像经过点 \((1,6)\) 和 \((4,48)\)。求常数 \(k\) 和 \(a\) 的值。
问题解决：将坐标代入 \(y = ka^x\) 建立联立方程。使用除法消去其中一个未知数。
答题区域：
\(y = pq^x\) 的图像经过点 \((-3,150)\) 和 \((2,0.048)\)。
a) 通过画图或其他方式，解释为什么 \(0 < q < 1\)。
b) 求常数 \(p\) 和 \(q\) 的值。
答题区域：
画出 \(y = 2^{x-2} + 5\) 的图像。给出图像与 \(y\) 轴交点的坐标。
答题区域：
a) 绘制 \(y = (1.7)^x\) 的图像：
由于 \(1.7 > 1\)，这是一个增函数。图像经过点 \((0,1)\)，当 \(x\) 增大时函数值增大，当 \(x\) 减小时函数值趋向于0。
b) 解方程 \((1.7)^x = 4\)：
从图像可以看出，当 \(y = 4\) 时，\(x \approx 2.3\)
a) 绘制 \(y = (0.6)^x\) 的图像：
由于 \(0 < 0.6 < 1\)，这是一个减函数。图像经过点 \((0,1)\)，当 \(x\) 增大时函数值趋向于0，当 \(x\) 减小时函数值增大。
b) 解方程 \((0.6)^x = 2\)：
从图像可以看出，当 \(y = 2\) 时，\(x \approx -1.3\)
\(y = 1^x\) 的图像：
对于任何 \(x\) 值，\(1^x = 1\)，所以图像是一条水平直线 \(y = 1\)。
a) 真：对于任何正实数 \(a\)，\(a^0 = 1\)，所以图像都经过 \((0,1)\)。
b) 假：当 \(0 < a < 1\) 时，函数是减函数。反例：\(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)。
c) 真：指数函数的值域是 \((0, +\infty)\)，永远不会等于0。
a) \(y = f(x) = 3^x\)：与 \(y\) 轴交点为 \((0,1)\)，渐近线为 \(y = 0\)
b) \(y = 2f(x) = 2 \cdot 3^x\)：与 \(y\) 轴交点为 \((0,2)\)，渐近线为 \(y = 0\)
c) \(y = f(x) - 4 = 3^x - 4\)：与 \(y\) 轴交点为 \((0,-3)\)，渐近线为 \(y = -4\)
d) \(y = f\left(\frac{1}{2}x\right) = 3^{\frac{x}{2}}\)：与 \(y\) 轴交点为 \((0,1)\)，渐近线为 \(y = 0\)
从点 \((1,6)\)：\(6 = ka^1 = ka\)
从点 \((4,48)\)：\(48 = ka^4\)
将第一个方程代入第二个：\(48 = 6a^3\)
\(a^3 = 8\)，所以 \(a = 2\)
代入第一个方程：\(6 = k \cdot 2\)，所以 \(k = 3\)
a) 由于图像经过点 \((-3,150)\) 和 \((2,0.048)\)，当 \(x\) 增大时 \(y\) 减小，所以 \(0 < q < 1\)。
b) 从点 \((-3,150)\)：\(150 = pq^{-3}\)
从点 \((2,0.048)\)：\(0.048 = pq^2\)
将第一个方程代入第二个：\(0.048 = 150q^5\)
\(q^5 = \frac{0.048}{150} = 0.00032\)
\(q = 0.2\)
代入第二个方程：\(0.048 = p \cdot (0.2)^2 = p \cdot 0.04\)
\(p = \frac{0.048}{0.04} = 1.2\)
\(y = 2^{x-2} + 5\) 的图像：
这是 \(y = 2^x\) 的图像向右平移2个单位，再向上平移5个单位。
与 \(y\) 轴相交时 \(x = 0\)：
\(y = 2^{0-2} + 5 = 2^{-2} + 5 = \frac{1}{4} + 5 = \frac{21}{4}\)